Математическое ожидание и его расчет в трейдинге

Возможно, это покажется странным, но в сети очень сложно найти действительно ценную информацию про математическое ожидание в трейдинге. Как правило, все тематические публикации сводятся к перепечатке заблуждений или псевдонаучных идей, которые не имеют никакой практической ценности. Сегодня мы попробуем заполнить этот пробел.

Начнём, пожалуй, с заблуждений и нелепых сравнений, которые портят жизнь начинающим спекулянтам. Не знаю почему, но в русскоязычном Форекс-сообществе многие авторы сравнивают трейдинг с казино и делают закономерный вывод – заработать на рынке невозможно.

Обычно в таких «исследованиях» моделируется игра с монеткой, затем к ней добавляется «фактор спреда» и делается очевидный вывод – ну смотрите же, мат. ожидание получается отрицательным.

Действительно, если позиции открывать наугад, примерно так и будет, но математическое ожидание в трейдинге всегда определяется для конкретной торговой стратегии, т.е. никаких общих оценок на рынке не может быть в принципе.

И вторая распространённая ошибка выражается в попытках сделать торговую стратегию прибыльной путём прямых манипуляций с лотом. Например, в процессе оптимизации сигналов используется динамический объём позиции.

Примечательно, что сторонники этого приёма часто приводят сложные вычисления и графики, якобы доказывающие правоту своей позиции. А поскольку многие начинающие трейдеры от природы любят цифры и уважают математику, они попадают в эту псевдонаучную ловушку. В общем, теряют время.

Как рассчитывается математическое ожидание

Но вернёмся к теме. Как уже отмечалось, математическое ожидание в трейдинге рассчитывается индивидуально для каждой торговой стратегии. Оно показывает, какую прибыль в среднем приносит одна сделка.

В общем случае матожидание рассчитывается в три этапа:

1. Сначала определяется вероятность отработки сделки в плюс (P);
2. Затем потенциальная прибыль умножается на P, а допустимый риск умножается на (1-P);
3. И на последней стадии эти величины складываются.

Например, если у трейдера есть сигналы, которые отрабатываются в 40% случаев, а тейк-профиты/стоп-лоссы по ним равны $10/$3 соответственно, матожидание сделки составит $2,2 (10*0,4 + 3*(1-0,6)).

Таким образом, прежде чем думать над математическим ожиданием в трейдинге, необходимо хотя бы в общих чертах сформулировать правила торговой стратегии. Иначе говоря, точки входа первичны, и пока нет внятного плана, делать какие-либо выводы об эффективности спекуляций категорически нельзя.

Рассмотренный выше пример с постоянными тейк-профитами и стоп-лоссами был теоретическим, но на практике эти величины редко бывают неизменными, т.е. они корректируются в каждой сделке с поправкой на текущую волатильность или дополнительные фильтры.

По этой причине опытные трейдеры определяют математическое ожидание в трейдинге гораздо проще – делят тестовую чистую прибыль на количество всех сделок.

В таблице выше представлены результаты тестирования одной технической системы. Даже не изучая сам шаблон, по этим цифрам сразу становится понятно, что прибыли/убытки по сделкам плавающие, поскольку средний профит/лосс не равен максимальному профиту/лоссу.

Несмотря на то, что терминал MetaTrader уже сделал всю работу (матожидание выигрыша в отчёте выделено отдельной строкой), определим искомую величину самостоятельно. Для этого разделим чистую прибыль на общее количество сделок.

Результат полностью совпал с оценкой тестера - математическое ожидание в трейдинге составляет $1,4 со сделки.

Особенности математического ожидания в трейдинге

Полагаю, с расчётами никаких проблем возникнуть не должно, поэтому пристальное внимание лучше обратить на некоторые специфические нюансы, которые не всегда учитываются в процессе разработки и оптимизации систем.

Во-первых, все базовые тесты на Форекс должны проводиться постоянным лотом. Только такой подход позволяет сделать объективные выводы о работоспособности ключевой идеи.

Справедливо и обратное утверждение – если стратегия плохо себя показывает при торговле постоянным лотом, любые попытки «вытянуть» математическое ожидание в плюс за счёт манипуляций с объёмом позиций в итоге приведут к потерям.

На графике выше представлен результат такого эксперимента. На первый взгляд кажется, что всё нормально – математическое ожидание в трейдинге положительное, да и суммарная прибыль превышает просадку, но если убрать мани-менеджмент и провести чистый эксперимент постоянным лотом, картина кардинально меняется.

Вывод - управлять лотами и играть с вероятностью можно лишь в том случае, если сама базовая идея имеет рациональное зерно. Если его нет, спекулятивный процесс превращается в рулетку, а оптимизация представляет собой ничто иное, как банальную подгонку под историю.

То же самое касается и любых форм мартингейла – он допустим лишь в том случае, если является надстройкой к уже проверенному алгоритму с положительным матожиданием. Если при постоянном лоте оно отрицательное, «мартин» только усугубит ситуацию.

Во-вторых, математическое ожидание в трейдинге тесно связано с объёмом статической выборки. Сразу рассмотрим пример. Предположим, трейдер выбирает одну из двух систем (лоты одинаковые):

1. Первая даёт на сделку $2, при этом за тестовый период она сформировала 500 сигналов;
2. Вторая позволяет зарабатывать со сделки в среднем $10, но за аналогичный период она выдала всего 100 точек входа.

Новички при прочих равных склонны выбирать систему №2, так как она кажется менее трудоёмкой (сделки реже, а прибыль по ним выше), но профессионалы остановятся именно на первой методике, поскольку она имеет за плечами большую надёжную выборку.

И последнее замечание – конкретная величина математического ожидания в трейдинге не должна становиться психологическим якорем, напротив, этот показатель со временем естественным образом меняется, чем даёт нам подсказу о повышении или снижении общей эффективности системы.